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设，是可测空间，X是可分的Banach空间，证明：
设
是可测空间，X是可分的Banach空间，证明：
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设是可测空间，X是可分的Banach空间，证明：
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第2题
设X是赋范空间，Y是Banach空间。证明由从X到Y的有界线性映射组成的空间BL(X，Y)，赋有范数
‖F‖=sup{‖F(x)‖：x∈X，‖x‖≤1}， F∈BL(X，Y)
是Banach空间。证明赋范空间X的对偶空间X'是Banach空间。
第3题
设(X，‖·‖)是赋范空间，X≠{θ}．证明X是Banach空间当且仅当X中的单位球面S(X)是完备的．
第5题
若X是Banach空间，Y是X的闭子空间，证明商空间X/Y在商范数
‖x+Y‖=inf{‖x+y‖：y∈Y}， x+Y∈X/Y
下是Banach空间。
第6题
设X是Banach空间，A，B是X的闭子空间且X=A+B．证明存在常数M＞0，使得每一个x∈X有表示x=a+b，其中a∈A，b∈B，并且
‖a‖+‖b‖≤M‖x‖．
第7题
设X，Y都是Banach空间，T：X→Y为线性算子．证明：T有界的充要条件是对任何
时有
．
第8题
设T是Banach空间X上的有界线性算子，T的值域空间
(T)在X中不稠密，证明存在f∈X*使‖f‖=1且T*f=θ．
第9题
设X和Y是两个Banach空间，T：X→Y是有界线性算子，若T(X)不是第一纲的，证明T(X)=Y．
第10题
设E是赋范线性空间，L是E的闭子空间．在
证明：
