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[主观题]
设函数f（x)在数集X上有定义，试证：函数f（x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界．
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设函数f(x)在数集X上有定义，试证：函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界．
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更多“设函数f（x)在数集X上有定义，试证：函数f（x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界．”相关的问题
第1题
(1)对任何实数α，{x:f(x)＞α}及{x:f(x)＜α}均为开集；
(2)对任何实数α，{x:f(x)≥α)及{x:f(x)≤α}均为开集。
第2题
| 定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界，已知函数f(x)=1+x+ax2， (Ⅰ)当a=-1时，求函数f(x)在(-∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(-∞，0)上是否为有界函数，并说明理由； (Ⅱ)若函数f(x)在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围。 |
第4题
定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界．已知函数f(x)＝1＋a· ＋ .(1)当a＝1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由； (2)若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围． |
第6题
(Tx)(t)=α(t)x(t) (x∈C[a，b])，
则T是由C[a，b]到其自身的有界线性算子的充分必要条件是α(·)在[a，b]上连续。
第8题
y∈Y，令
求证：
(a)若φ为有界的，则它在X×Y上连续。
(b)若φ为有界的，则任取x∈X，y∈Y有fy∈X'，fx∈Y'
(c)若任取x∈X，y∈Y，有fy∈X'，fx∈Y'且X或Y为Banach空间，则φ必为有界的。
